f(x)=x²＋aIn(x+1),首先,解出定义域为x＞-1
1.求导
f‘(x)=2x-4/(x+1),
当f‘(x)≥0时,函数为增函数,即2x-4/(x+1)≥0
化简得(x-1)(x+2)/(x+1)≥0,解得x≥1 即函数f(x)的递增区间为[1,+∞)
当f‘(x)≥0时,函数为减函数,即2x-4/(x+1)＜0
化简得(x-1)(x+2)/(x+1)＜0,解得-1＜x＜1,即即函数f(x)的递减区间为(-1,1)
2.求导
f‘(x)=2x+a/(x+1),
极值点就是让导数等于0
即f‘(x)=2x+a/(x+1)=0 化简得x²+x+a/2=0
现在要讨论了
当0＜a＜1/2时,二次方程有2个不相等的实数根,x=(-1±√1-2a)/2
然后再看3个区间,即(-1,(-1-√1-2a)/2],(-1-√1-2a)/2,(-1+√1-2a)/2],((-1+√1-2a)/2,+∞].
当x∈(-1,(-1-√1-2a)/2]时,f‘(x)＞0,即f(x)为增函数,
当x∈(-1-√1-2a)/2,(-1+√1-2a)/2]时,f‘(x)＜0,即f(x)为减函数
当x∈((-1+√1-2a)/2,1/2]时,f‘(x)＞0,即f(x)为增函数,
即两个极值点 当x=(-1-√1-2a)/2时,是极大值,
当x=(-1+√1-2a)/2时,是极小值.
具体函数值自己算吧,(-1,(-1+√1-2a)/2],((-1+√1-2a)/2,1/2].
所以当a＜0时,方程同样有2个解,但是当-1-√1-2a)/2＜-1,故舍去.
所以函数只有2个单调区间(-1,(-1+√1-2a)/2],((-1+√1-2a)/2,+∞].
当x∈(-1,(-1+√1-2a)/2],时,函数f‘(x)＜0,则f(x)为减函数.
当x∈((-1+√1-2a)/2,1/2]时,函数f‘(x)＞0,则f(x)为增函数.
所以函数f(x)有一个极值点,
即当x=-1+√1-2a)/2,函数f(x)取得极小值.
好麻烦,好累,用了1个多小时才写完,有问题问我