设点M坐标为(x0,y0),圆M的半径为r,
⑴∵圆M与x轴相切于点F,
∴x0=c,r=|y0|,
∵点M在椭圆上,
∴c^2/a^2+r^2/b^2=1,
∴r^2/b^2=1-c^2/a^2=(a^2-c^2)/a^2=b^2/a^2,
∴r=b^2/a,
∵圆M与y轴相切,
∴r=x0,
∴b^2/a=c,
∴a^2-c^2=ac,
两边同除以a^2,得：
(c/a)^2+(c/a)-1=0,即e^2+e-1=0,
解得：e=(-1+√5)/2或(-1-√5)/2(舍)；
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⑵∵△ABM是边长为2的正三角形,
∴r=2,x0=√3,
由⑴知：r=b^2/a,x0=c,
∴c=√3,
∴b^2/a=(a^2-c^2)/a=(a^2-3)/a=2,
整理得a^2-2a-3=0,
解得a=3或a=-1(舍去),
∴b^2=a×r=6,
∴椭圆方程是：x^2/9+y^2/6=1．
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