解题思路：（1）求过点A（1，5）的圆C的切线方程，分两种情况，一是斜率存在，用圆心到直线的距离等于半径求解；一是斜率不存在，直接验证即可；
（2）在两坐标轴上截距之和为0，设出两种情况的直线方程，利用弦长、半径求出弦心距，圆心到直线的距离公式，可解直线方程．
（1）已知圆 C：（x-2）2+（y-3）2=1
若直线斜率不存在，x=1适合题意（2分）
若直线斜率存在，设切线l的方程为 y-5=k（x-1），kx-y+5-k=0
由题意可知圆心（2，3）到l的距离为d＝
|2k−3−k+5|
k2+1＝1，
解得k=[3/4]（4分）
故所求直线方程为x=1或y=−
3
4x+
23
4（2分）
（2）由题意可设所求直线为y=kx或
x
a−
y
b＝1且过圆心
当直线为y=kx过圆心（2，3），则所求直线为y=
3
2x（2分）
当直线为
x
a−
y
b＝1过圆心（2，3），则所求直线为x-y+1=0（2分）
故所求直线方程为y=
3
2x或x-y+1=0（2分）
点评：
本题考点： 圆的切线方程；直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用．
考点点评： 本题考查直线与圆相切，直线方程的求法，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．