1.lim 1/n^(1+(1/n)) = lim 1/n是成立的, 因为两个的极限都是0.
但是比较判别法不是要极限相等, 而是要比较两个无穷小的级别.
所以正确的表述是由二者比值的极限lim (1/n^(1+(1/n)))/(1/n) = 1, 知两个级数敛散性相同.
2. 容易知道lim (1/(n+1))/(1/n) = 1. 但是这与(1/(n+1))/(1/n) < 1不矛盾.
这个例子说U(n+1)/Un < 1是指每一项, 但并没有说lim U(n+1)/Un < 1.
3. 这个证明方法用在这里是没问题的, 是比较判别法的推论.
注意比较判别法是对正项级数叙述的, 所以不适用你的反例(不过例子举得挺漂亮).
但是原题是正项级数, 所以没问题.
4. 前面已经说过了, 虽然对每个n都有U(n+1)/Un < 1, 但是lim U(n+1)/Un = 1.
不满足Abel判别法的条件.
有疑问请追问.