Question

设O在△ABC内部,且有(→OA)+2(→OB)+3(→OC)=(→O),求△ABC的面积与△AOC的面积的比

Answer 1

延长AO交BC于D

所以 向量OB=向量OD+向量DB

向量OC=向量OD+向量DC

因为(→OA)+2(→OB)+3(→OC)=(→O)

所以 向量OA+2向量OD+2向量DB+3向量OD+3向量DC=0向量

向量OA+5向量OD+2向量DB+3向量DC=0向量

因为 向量OA与向量OD共线

所以 可以设向量OA=K*向量OD

因为 向量DC与向量DB共线

所以 可以设向量DC=L*向量DB

带入,有(5+K)*向量OD+(2+3*L)*向量DB=0向量

因为 向量OD与向量DB不共线

所以 有 5+K=0 2+3L=0

K=-5 L=-2/3

所以 BD:DC=3:2

OA:OD=5:1

因为三角形ABC与三角形ADC共高

所以 三角形ABC的面积=5/2*三角形ADC的面积

因为三角形AOC与三角形ADC共高

所以 三角形ADC的面积=6/5*三角形AOC的面积

所以 三角形ABC的面积=3*三角形AOC的面积

所以 △ABC的面积与△AOC的面积的比为3:1