Question

如图，正四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的底面边长为1，侧棱长为2，E、F、G分别CC 1 、DD 1

Answer 1

①∵正四棱柱ABCD-A ₁B ₁C ₁D ₁；

∴CD⊥平面ADD ₁A ₁；

又E、F、G分别CC ₁、DD ₁、AA ₁中点．

∴EF

∥

.

. CD

∥

.

. AB⇒E，F，A，B四点共面，且EF⊥平面ADD ₁A ₁，

所以EF⊥A ₁F （1）；

而GF=

1

2 AA ₁，所以三角形AA ₁F为直角三角形且A ₁F⊥AF （2）

且AF∩EF=F⇒A ₁F⊥面AEF；

又由上得E，F，A，B四点共面

∴A ₁F⊥面BEF；

②∵GA=

1

2 AA ₁，C ₁E=

1

2 CC ₁；

∴GA

∥

.

. C ₁E，所以四边形GAEC ₁为平行四边形，⇒GC ₁∥ AE

又因为GC ₁不在平面BEF内，又由上得E，F，A，B四点共面

而AE在平面BEF内；

∴GC ₁∥ 面BEF；

③∵A ₁F⊥面BEF

∴∠A ₁BF即为直线A ₁B与面BEF所成的角，

在直角三角形A ₁BF中

A ₁B=

AB 2 + AA 1 2 =

5 ，A ₁F=

AG 2 + GF 2 =

2 ，

∴sin∠A ₁BF=

A 1 F

A 1 B =

2

5 =

10

5 ⇒∠A ₁BF=arcsin

10

5 ．

即直线A ₁B与面BEF所成的角为arcsin

10

5 ．