解题思路:(1)使函数f(x)有意义,显然x∈R,所以f(x)的定义域为R.令y=f(x),则能得到:a2x+(1-y)ax-1=0,可以把该方程看成关于ax的一元二次方程,该方程有解,所以△=(1-y)2+4≥0,显然该不等式的解是R,即y∈R,所以函数f(x)的值域是R;
(2)求f′(x),讨论a即可判断f′(x)的符号,从而判断函数f(x)的单调性.
(1)使函数f(x)有意义,则x∈R,∴函数f(x)的定义域为R;
令y=ax−
1
ax+1,则整理成:a2x+(1-y)ax-1=0,可以把该方程看成关于ax的一元二次方程,该方程有解,则:△=(1-y)2+4≥0,显然对于任意y∈R,都有△≥0成立,∴函数f(x)的值域为R;
(2)f′(x)=axlna+
axlna
a2x=lna(ax+
1
ax);
∴当0<a<1时,lna<0,f′(x)<0,∴函数f(x)在R上单调递减;
当a>1时,lna>0,f′(x)>0,∴函数f(x)在R上单调递增.
点评:
本题考点: 函数单调性的性质;函数的定义域及其求法;函数的值域.
考点点评: 考查函数的定义域,值域的求法,根据导数符号判断函数单调性的方法.