Question

设x+y=1，x2+y2=2，求x7+y7的值．

Answer 1

解题思路：根据题意，由x+y=1，x²+y²=2，求出xy和x³+y³的值，：再由（x⁴+y⁴）（x³+y³）=x⁷+y⁷+x³y³（x+y）得出x⁷+y⁷的表达式，从而求出它的值．

∵x+y=1，x²+y²=2，

∴xy=-[1/2]，

∴x³+y³=（x+y）（x²+y²-xy）=1×（2+[1/2]）=[5/2]；

又∵（x⁴+y⁴）（x³+y³）=x⁷+y⁷+x³y³（x+y），

∴x⁷+y⁷=（x⁴+y⁴）（x³+y³）-x³y³（x+y）

=[（x²+y²）²-2x²y²]（x³+y³）-x³y³（x+y）

=（2²-2×(−

1

2)2）×[5/2]-(−

1

2)3×1

=[71/8]．

点评：

本题考点： 根式与分数指数幂的互化及其化简运算．

考点点评： 本题考查了因式分解、完全平方式、立方和公式的应用问题，解题的关键是利用x4+y4、x3+y3表示出x7+y7，是基础题．