因为
2x^2+4xy+5y^2-4x+2y-5
=(x^2+4xy+4y^2)+(x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)-10
=(x+2y)^2+(x-2)^2+(y+1)^2-10
所以若要原式取得最小值,只需 (x+2y)^2+(x-2)^2+(y+1)^2 取得最小值.
这三个完全平方的和,最小值可能为0,但当切仅当 x+2y=0,x-2=0,y+1=0 同时成立(如果三式不能同时成立,那么最小值不是0).由 x-2=0,y+1=0 可以解出 x=2,y=-1,此时恰好满足 x+2y=0,因此上面三式可以同时取0,因此原式可以达到最小值-10,且达到最小值时有 x=2,y=-1.