设矩阵A属于R正定,求证:1、aii>0,i=1,2.n 2、max[aii]>=max[aij]

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  • 由A是正定矩阵,那么存在非退化矩阵C使得:A=CC'.那么a〔ij〕=∑c〔ik〕*c〔jk〕,(k从1到n).a〔ii〕=∑c∧2〔ik〕(k从1到n).从这里可看出a〔ii〕≥0.若a〔ii〕=0.则有c〔ik〕=0.k=1,2,…,n.从而矩阵C的第i行都是0,这与C非退化矛盾,从而a〔ii〕>0,i=1,2,…,n.

    再证明max(a〔ii〕)≥max(a〔ij〕),首先令C〔i〕=(c〔i1〕,c〔i2〕,…,c〔in〕),(i=1,2,…,n)即C的第i行行向量.由上面知道a〔ij〕=(C〔i〕,C〔j〕)这里是两向量C〔i〕与C〔j〕的内积,假设C〔m〕是C〔1〕,C〔2〕,…,C〔n〕这组向量中模最大的一个向量,那么有a〔mm〕=(C〔m〕,C〔m〕)≥(C〔i〕,C〔j〕)=a〔ij〕,从而得证(即正定矩阵的最大元一定在对角线上)