解题思路：（1）由抛物线过A、B、C三点可求出抛物线表达式；（2）假设存在，设出P点，解出直线CD的解析式，根据点P到CD的距离等于PO可解出P点坐标；（3）应分两种情况：抛物线向上或下平移，设出解析式，代入点求出平移的单位长度．
（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4）．
把C（0，8）代入，得a=-1．
∴y=-x2+2x+8=-（x-1）2+9，
顶点D（1，9）；（2分）
（2）假设满足条件的点P存在．依题意设P（2，t）．
由C（0，8），D（1，9）求得直线CD的解析式为y=x+8，
它与x轴的夹角为45°．
设OB的中垂线交CD于H，则H（2，10）．
则PH=|10-t|，点P到CD的距离为d＝
2
2PH＝
2
2|10−t|．
又PO＝
t2+22＝
t2+4．（4分）
∴
t2+4＝
2
2|10−t|．
平方并整理得：t2+20t-92=0，解之得t=-10±8
3．
∴存在满足条件的点P，P的坐标为（2，-10±8
3）．（6分）
（3）由上求得E（-8，0），F（4，12）．
①若抛物线向上平移，可设解析式为y=-x2+2x+8+m（m＞0）．
当x=-8时，y=-72+m．
当x=4时，y=m．
∴-72+m≤0或m≤12．
∴0＜m≤72．（8分）
②若抛物线向下平移，可设解析式为y=-x2+2x+8-m（m＞0）．
由
y＝−x2+2x+8−m
y＝x+8，
有-x2+x-m=0．
∴△=1-4m≥0，
∴m≤[1/4]．
∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移[1/4]个单位长．（10分）
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题考查待定系数求抛物线解析式，第二问考查垂直平分线性质，利用距离相等解题，最后一问考抛物线的平移，要注意已知条件和技巧．