Question

求函数y=tan2x+2atanx+5在x∈[π/4，π/2）时的值域（a为常数）

Answer 1

x∈[π/4,π/2）时，tanx是增函数，tanx ∈[1,+∞) y=(tanx)^2+2atanx+5 =(tanx+a)^2+5-a^2 这是关于tanx的二次函数，在tanx>-a时，也是增函数，所以本题实际上就是求 y的最小值。 我们考虑y=(tanx+a)^2+5-a^2 a<=-1时 tanx+a总可以取到0，所以y的最小值是 5-a^2 a>-1时，tanx+a>0，显然tanx=1，y取得最小值，且最小值是 2a+6 综上所述： a<=-1时 y的值域是 [5-a^2,+∞) a>-1时，y的值域是 [2a+6,+∞)