Question

设V为有理数域Q上的线性空间,σ是V上的线性变换,满足σ^3=σ^2-2σ,证明 :V=ker(σ)直和σ(V)

Answer 1

对V中的任意向量α,有α=(σ^2-σ+2E)α+(E-σ^2+σ-2E)ασ[(σ^2-σ+2E)α]=(σ^3-σ^2+2σ)α=0α=0所以σ^2-σ+2E)α∈ker(σ)而σ[(E-σ^2+σ-2E)α]=σ(α)+(-σ^3+σ^2-2σ)α=σ(α)所以E-σ^2+σ-2E)α∈σ...