操作:在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°,将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,

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  • 解题思路:(1)因为△ABC是等腰直角三角形,所以连接PC,容易得到△ACP、△CPB都是等腰直角三角形.连接CP,就可以证明△CDP≌△BEP,再根据全等三角形的对应边相等,就可以证明DP=PE;

    (2)根据全等三角形的判定与性质,可得CD与BE的关系,根据线段的和差,等量代换,可得答案.

    (3)分类讨论:PE=PB,PB=BE,PE=BE,PB=EB,根据两边相等的三角形是等腰三角形,可得答案.

    (1)连接PC.

    ∵△ABC是等腰直角三角形,P是AB的中点,

    ∴CP=PB,CP⊥AB,∠ACP=[1/2]∠ACB=45°.

    ∴∠ACP=∠B=45°.

    又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°,

    ∴∠DPC=∠BPE.

    在△PCD和△PBE中,

    ∠DPC=∠BPE

    PC=PB

    ∠PCD=∠B

    ∴△PCD≌△PBE(ASA),

    ∴PD=PE;

    (2)观察图②与图③,请写出这两个图中的CD、CE与CB之间有什么数量关系?图②中CD、CE与CB的数量关系:CD+CE=CB;

    图③中CD、CE与CB的数量关系:CD+BE=CE,

    故答案为:CD+BE=CE,CD+BE=CE;

    (3)共有四种情况:

    ①当点C与点E重合,即CE=0时,PE=PB;

    ②CE=2-

    2,此时PB=BE;

    ③当CE=1时,此时PE=BE;

    ④当E在CB的延长线上,且CE=2+

    2时,此时PB=EB.

    点评:

    本题考点: 几何变换综合题.

    考点点评: 此题比较复杂,综合考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、图形的变换.综合性很强,勾股定理的计算要求也比较高.