Question

抛物线焦点在x轴上,经过焦点且倾斜角为135度的直线,被抛物线索解得的弦长为8

Answer 1

设抛物线为y^2=2px,其焦点为（p/2,0),过焦点直线的斜率为tan135°=-1

其方程为y=-(x-p/2),即：x+y=p/2,设它与抛物线交于(x1,y1),(x2,y2)

把直线方程代入抛物线方程可得：x^2-3px+p^2/4=0①,y^2+2py-p^2=0②

显然x1、x2是方程①的根,y1、y2是方程②的根,由韦达定理

则：(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=8p^2

(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=8p^2

由题意：8=√(16p^2),于是p=±2

抛物线为y^2=±4x.