微积分基本定理描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系.定理的第一部分,有时
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称为微积分第一基本定理,表明不定积分是微分的逆运算.[1]定理的第二部分,有时称为微积分第二基本定理,表明定积分可以用无穷多个原函数的任意一个来计算.这一部分有很多实际应用,这是因为它大大简化了定积分的计算.
该定理的一个特殊形式,首先由詹姆斯·格里高利（1638-1675）证明和出版.[2]定理的一般形式,则由艾萨克·巴罗完成证明.
微积分基本定理表明,一个变量在一段时间之内的无穷小变化之和,等于该变量的净变化.
我们从一个例子开始.假设有一个物体在直线上运动,其位置为x(t),其中t为时间,x(t)意味着x是t的函数.这个函数的导数等于位置的无穷小变化dx除以时间的无穷小变化dt（当然,该导数本身也与时间有关）.我们把速度定义为位置的变化除以时间的变化.用莱布尼兹记法：
整理,得
根据以上的推理,x的变化──Δx,是dx的无穷小变化之和.它也等于导数和时间的无穷小乘积之和.这个无穷的和,就是积分；所以,一个函数求导之后再积分,得到的就是原来的函数.我们可以合理地推断,这个运算反过来也成立,积分之后再求导,得到的也是原来的函数.
目录 [隐藏]
1 正式表述
1.1 第一部分
1.2 第二部分
2 推论
3 例子
4 证明
4.1 第一部分
4.2 第二部分
5 推广
6 参看
7 注解
8 参考文献
9 外部链接
[编辑]正式表述
微积分基本定理有两个部分,第一部分是关于原函数的导数,第二部分描述了原函数和定积分之间的关系.
[编辑]第一部分
设f为定义在闭区间[a, b]的实数函数.设F为
所定义的函数.这样,F在区间[a, b]可导,且对于[a, b]内的任何x,有
是一个上限可变的定积分,它的值F(x)是f的无穷多个原函数的其中一个.
[编辑]第二部分
设f为定义在闭区间[a, b]的连续实数函数.设F为f的一个原函数,也就是说,它是使下式成立的无穷多个函数之一,
那么
[编辑]推论
设f为定义在闭区间[a, b]的实数函数.设F为f的一个原函数,那么,对于区间[a, b]内的所有x,有
和
[编辑]例子
计算以下积分：
在这里,f(x) = x2,是一个原函数.因此：
[编辑]证明
[编辑]第一部分
假设有
设x1和x1 + Δx为区间[a, b]中的两个数.我们有
和
两式相减,得
可以证明
（两个相邻区域的面积之和,等于两个区域合并起来的面积.）
整理,得
把上式代入(1),得
根据积分中值定理,在区间[x1, x1 + Δx]存在一个c,使得
把上式代入(2),得
两边除以Δx,得
注意左边的表达式是F在x1处的牛顿差商.
两边取Δx → 0的极限,
左边的表达式是F在x1处的导数的定义.
我们用夹挤定理来求另一个极限.c在区间[x1, x1 + Δx]内,因此x1 ≤ c ≤ x1 + Δx.
另外 and
所以,根据夹挤定理,
代入(3),可得
函数f在c处连续,所以极限可以在函数里面进行.因此,我们有
证毕.
[编辑]第二部分
设f在区间[a, b]上连续,并设F为f的原函数.我们从以下表达式开始
设有数
x0, ..., xn
使得
可得
我们加上F(xi)及其相反数,这样等式仍成立：
以上表达式可用以下的和表示：
我们将使用均值定理.就是：
设F在闭区间[a, b]连续,在开区间(a, b)可导,则开区间(a, b)内一定存在c使得
可得
函数F在区间[a, b]可导,所以在每一个区间xi-1也是可导和连续的.因此,根据介值定理,
把上式代入(1),得
根据第一部分的结论,我们有F'(ci) = f(ci).另外,xi − xi − 1可表示为第i个小区间的Δx.
一个黎曼和的收敛数列.右上角的数是灰色矩形的面积.它们收敛于函数的积分.
注意到我们正在描述矩形的面积（长度乘以宽度）,并把这些面积相加起来.每一个矩形都描述了一部分曲线的估计.同时也注意到,Δxi并不需要对于任何i都是相同的,换句话说,矩形的长度可以变化.我们要做的,是要用n个矩形来近似代替曲线.现在,当n增加而每一个矩形越来越小时,它的面积就越来越接近曲线的真实面积.
当矩形的宽度趋近与零时取极限,便得出黎曼积分.也就是说,我们取最宽的矩形趋于零,而矩形的数目趋于无穷大时的极限.
所以,我们把(2)式的两边取极限,得
F(b)和F(a)都不依赖于||Δ||,所以左面的极限仍然是F(b) - F(a).
右边的表达式定义了f从a到b的积分.这样,我们有
证毕.
[编辑]推广
我们不需要假设 f 在整个区间是连续的.这样定理的第一部分便说明：如果 f 是区间[a, b]内的任何一个勒贝格可积的函数,x0是[a, b]内的一个数,使得 f 在 x0连续,则
在x = x0是可导的,且F'(x0) = f(x0).我们可以把f的条件进一步降低,假设它仅仅是可积的.这种情况下,我们便得出结论：F几乎处处可导,且F'(x)几乎处处等于f(x).这有时称为勒贝格微分定理.
定理的第二部分对于任何具有原函数F的勒贝格可积函数f都是正确的（不是所有可积的函数都有原函数）.
泰勒定理中把误差项表示成一个积分的形式,可以视为微积分基本定理的一个推广.
对于复数函数,也有一个类似的形式：假设U是C的一个开集,f: U → C是一个在U处具有全纯原函数F的函数.那么对于所有曲线γ: [a, b] → U,曲线积分可以用下式来计算：
微积分基本定理可以推广到多维空间的曲线和曲面积分,也可以推广到流形.
这个方向上的一个有力的表述是斯托克斯定理：设 M 为一个可定向分段光滑n维流形,并设ω为n−1阶M上的C1类紧支撑微分形式.如果∂M表示M的边界,并以M的方向诱导的方向为边界的方向,则
这里是外导数,它仅仅用流形的结构来定义.斯托克斯定理将德拉姆上同调和奇异链的同调联系起来.