解题思路：（1）由y=f（x）是R上的偶函数，且x∈[0，1]时，f（x）=x，由此能求出当x∈[-1，0]时，f（x）的解析式．
（2）对于x∈R，恒有f（1+x）=f（1-x），故f（2+x）=f（-x）．由y=f（x）是偶函数，能够证明函数y=f（x）（x∈R）是以T=2为周期的周期函数．
（3）利用（1）的结论，结合偶函数的性质进行求解．
（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分（5分），第2小题满分（5分），第3小题最多（8分）．
解（1）∵y=f（x）是R上的偶函数，且x∈[0，1]时，f（x）=x，
又当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，有f（-x）=-x．
∴f（x）=-x（-1≤x≤0）． （5分）
（2）证明∵对于x∈R，恒有f（1+x）=f（1-x），
∴f（2+x）=f（1+（1+x））=f（1-（1+x）），即f（2+x）=f（-x）． （7分）
又∵y=f（x）是偶函数，
∴f（2+x）=f（x），即y=f（x）是周期函数，且T=2就是它的一个周期． （10分）
（3）依据选择解答的问题评分
①f（x）=2n-x（x∈[2n-1，2n]）． （14分）
②0＜k≤
1
2n+1． （16分）
③f(x)＝
x(x∈[0，1))
2−x(x∈[1，2))
x−2(x∈[2，3))
⋮
x−(2n−2)(x∈[2n−2.2n−1))
2n−x(x∈[2n−1，2n]).（18分）
点评：
本题考点： 函数的周期性；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．
考点点评： 本题考查函数解析式的求法，考查周期函数的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数性质的灵活运用．