Question

椭圆离心率已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,右焦点是F,过F点作直线与长

Answer 1

PQ是x=c

代入椭圆

c^2/a^2+y^2/b^2=1

y^2=b^2(1-c^2/a^2)=b^2(a^2-c^2)/a^2=b^2*b^2/a^2=b^4/a^2

假设P在x轴上方

y=b^2/a

则PF=b^2/a=(a^2-c^2)/a

B(a,0),所以BF=a-c

∠PBF=60°

所以PF/BF=tan60=√3

[(a^2-c^2)/a]/(a-c)=√3

a^2-c^2=√3a^2-√3ac

c^2-√3ac+(√3-1)a^2=0

把c看做未知数

判别式=3-4√3+4=7-2√12=(2-√3)²

所以c=[a√3±a(2-√3)]/2

c/a=[√3±(2-√3)]/2

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