（1）由题意得
-
b
2a =1
a-b+c=0
c=3 ，
解得
a=-1
b=2
c=3 ．
所以，此抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3；
（2）①如图，
顶点P为（1，4），CP=
1 2 + 1 2 =
2 ，BC=
3 2 + 3 2 =3
2 ，
BP=
2 2 + 4 2 =2
5 ，
又因为CP 2+BC 2=PB 2，
所以∠PCB=90°．
又因为O′C′ ∥ CP，
所以O′C′⊥BC，
所以点O′在BC上，
所以α=45°．
②如备用图1，
当BC′与BP重合时，过点O′作O′D⊥OB于D．
因为∠PBC+∠CBO′=∠CBO′+∠ABO′=45°，
所以∠ABO′=∠PBC．
则△DBO′ ∽ △CBP，
所以
BD
BC =
O′D
PC ，
所以
BD
3
2 =
O′D
2 ，
所以BD=3O′D．
设O′D=x，则BD=3x，根据勾股定理，得x 2+（3x） 2=3 2，
解得 x=
3
10
10 ，
所以BD=
9
10
10 ，
所以点O′的坐标为（ 3-
9
10
10 ，
3
10
10 ）．
如备用图2，
当BO′与BP重合时，过点B作x轴的垂线BE，过点C′作C′E⊥BE于E，
因为∠PBE+∠EBC′=∠PBE+∠CBP=45°，
所以∠EBC′=∠PBC．
所以△EBC′ ∽ △CBP，
所以
BE
BC =
C′E
PC ，
所以
BE
3
2 =
C′E
2 ，
所以BE=3C′E．
设C′E为y，则BE=3y，根据勾股定理，
得 y 2 +(3y ) 2 =(3
2 ) 2 ，
解得 y=
3
5
5 ，
所以BE=
9
5
5 ，
所以C′的坐标为（ 3+
3
5
5 ，
9
5
5 ）．