Question

若双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|=3|PF2|，则

Answer 1

解题思路：先根据双曲线定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a进而根据|PF₁|=3|PF₂|，求得a=|PF₂|，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，进而求得a和c的不等式关系，分析当p为双曲线顶点时，[c/a]=2且双曲线离心率大于1，可得最后答案．

解根据双曲线定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a，即3|PF₂|-|PF₂|=2a．

∴a=|PF₂|，|PF₁|=3a

在△PF₁F₂中，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，

2c＜4|PF₂|，c＜2|PF₂|=2a，

∴[c/a]＜2，

当p为双曲线顶点时，[c/a]=2

又∵双曲线e＞1，

∴1＜e≤2

故答案为：1＜e≤2．

点评：

本题考点： 双曲线的简单性质；双曲线的定义．

考点点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质，三角形边与边之间的关系．解题的时候一定要注意点P在椭圆顶点位置时的情况，以免遗漏答案．