从自然数1,2,3,4,…,99,100中,任意取出51个数,求证其中一定有两个数,它们中的某一个数是另一个数的倍数.

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  • 解题思路:首先把1,2,…,100分成50组,100个数中每一个都在某一组中且只在一组中,任取51个数,由抽屉原则至少有2个数来自同一组,这两个数中大数必是小数的倍数.

    证明:把1,2,…,100分成如下50组(构造如下50个抽屉):

    A1={1,1×2,1×22,1×23,1×24,1×25,1×26}

    A2={3,3×2,3×22,3×23,3×24,3×25}

    A3={5,5×2,5×22,5×23,5×24}

    A4={7,7×2,7×22,7×23}

    A25={49,49×2}

    A26={51}

    A27={53}

    A50={99}

    则100个数中每一个都在某一组中且只在一组中,任取51个数,由抽屉原则至少有2个数来自同一组,这两个数中大数必是小数的倍数.

    点评:

    本题考点: 抽屉原理.

    考点点评: 本题主要考查抽屉原理的知识点,解答本题的关键是把50个数进行分组,然后利用抽屉原理进行解答,本题难度较大.