在三角形ABC中,已知∠BAC=45度,AD垂直BC于D,BD=2,DC=3,求AD的长

2个回答

  • 设AD与CE交于M点,

    M为三角形ABC的垂心,

    连结BM并延长交AC于F点,

    则BF垂直AC,

    三角形BMD与三角形BCF相似,有:

    MD/CF=BM/BC(式1).

    三角形BMD与三角形ACD相似,有:

    MD/DC=BD/AD(式2).

    同时,因角BAC=45度,则有角ABF=45度,

    而三角形BME与三角形CMF相似,角MCF也为45度,则

    2倍的CF平方=MC平方=MD平方+DC平方=MD平方+16,

    BM平方=MD平方+BD平方=MD平方+36.

    将(式1)两端均平方得

    MD平方/CF平方=BM平方/BC平方(式3),

    将CF平方与BM平方代入(式3),得

    MD平方的平方-148MD平方+576=0

    配方,移项,得

    (MD平方-74)的平方=4900

    MD平方=144或MD平方=4,解得MD=12或2

    将MD=12代入(式2)得AD=2,明显不合理,舍去.

    将MD=2代入(式2)得

    AD=12.