1)
取BD中点O,连结AO
因为AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,
所以等腰Rt△ABD,所以DBA=45°,BD=√2AB,AO⊥BD,
所以∠ABC=45°,
又BC=2AB=√2BD,所以等腰Rt△BDC,
所以BD⊥CD
又平面ABD⊥平面BCD,交线为BD,AO在平面ABD内,
所以AO⊥平面BCD,即AO⊥CD
又AO交BD于O点,
所以CD⊥平面ABD,即CD⊥AB,得证
2）
根据勾股定理,易知AC=√(AD²+CD²)=√6
所以AB²+AC²=2+6=8=BC²,所以BA⊥AC
又因为BA⊥AD
所以BA⊥平面ACD
所以M到平面的距离=AB/2=√2/2
3)
过N作NP∥BA交AC于点P
则NP⊥平面ACD
所以AN与平面ACD所成角为∠NAC∈[0°,90°]
所以存在,此时∠NAC=60°,∠BAN=30°
又因为sin∠ABC=AC/BC=√3/2,即∠ABC=60°
所以BN=AB/2=√2/2
所以BN/BC=1/4