设a,b,c是不全相等的任意整数,若x=a2-bc,y=b2-ac,z=c2-ab.求证:x,y,z中至少有一个大于零.

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  • 解题思路:首先假设x,y,z都小于0,进而利用由题意x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,将x,y,z相加,然后根据完全平方式的性质,进行求解.

    证明:假设x,y,z都小于0,

    ∵x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,

    ∴2(x+y+z)=2a2-2bc+2b2-2ca+2c2-2ab=(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2<0,

    ∴这与(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0矛盾,

    故假设不成立,

    ∴x,y,z中至少有一个大于零.

    点评:

    本题考点: 反证法.

    考点点评: 此题主要考查了反证法的应用,正确运用配方法是解题关键.