如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(4,0)、(4,3),动点M、N分别从点O、B同时

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  • 解题思路:(1)根据点A的坐标可直接写出OA的长度;

    (2)根据四边形OABC为矩形,推出AB⊥BC,又知NP⊥BC,可推出AB∥NP,进而推出AB∥NP,可证△CPN∽△CAB;

    (3)设两点的运动时间为x小时,由已知条件求出CN,然后根据△CPN∽△CAB,求出PN,即可求出点P的坐标,再将数值代入三角形面积公式,即可求解.

    (1)根据点A的坐标可直接得出OA=4;

    答:(1)OA的长度为4.

    (2)∵四边形OABC为矩形,

    ∴AB⊥BC,

    又∵NP⊥BC,

    ∴AB∥NP,

    ∴△CPN∽△CAB;

    (3)设两点的运动时间为x小时,

    ∵AB=OC=3,OA=BC=4,

    则CN=AM=4-x,

    ∵△CPN∽△CAB,[PN/AB]=[CN/BC],

    ∴PN=

    3(4−x)

    4,可求的P点的坐标为(4-x,[3/4]x),

    ∴S△MPA=[1/2](4-x)•[3/4]x=-[3/8](x-2)2+[3/2],

    ∴当x=2时,△MPA面积的最大值=[3/2].

    答:△MPA面积的存在最大值,最大值为[3/2],此时两点运动了2小时.

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;矩形的性质.

    考点点评: 此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,矩形的性质等知识点的理解和掌握,此题综合性较强,涉及到动点问题,有一定的拔高难度,属于中档题.