S=n^2-n+11=n(n-1)+11
而n(n-1)肯定是偶数,那么S就定为奇数,不可能被2整除
n(n-1)除以3,余数可能为0或2,11/3余2,S不可能被3整除
n(n-1)除以5,余数可能为0或1或2,11/5=余1,S不可能被5整除
n(n-1)除以7,余数可能为0或2或5或6,11/7=余4,S不可能被7整除
n(n-1)除以11,余数要为0即可使S整除11,则S可取11k或11k+1
n(n-1)除以13,余数要为2即可使S整除13,则S可取13k+2或13k+12
n(n-1)除以17,余数要为6即可使S整除17,则S可取17k+3或17k+16
n(n-1)除以19,余数要为8即可使S整除19,经计算不可能
n(n-1)除以23,余数要为12即可使S整除,则S可取23k+4或23k+20
……累死我了剩下的不想算了
P.S.计算余数的可能性：按住n设他除以k余m,则n-1除以k定然余m-1
则n(n-1)除以k与m(m-1)余数相同,……那个m(m-1)只能自己算了,不是个好差事
综上,这样的n存在且个数无限,
举例n=11,S=121=11*11
n=12,S=143=11*13
n=15,S=221=13*17
n=25,S=611=13*47
……