Question

代数结构群G中的两个元素a.b,a的阶等于m,b的阶等于n,m.n的最大公约数等于1,且ab=ba,证明ab的阶等于mn

Answer 1

证明

m.n的最大公约数等于1,则m、n为不同的素数,不妨设m

设 ab 的阶为r ,由题设知

(ab)^(mn)=a^(mn)b^(mn)= e,

故r | mn．

所以 r = 1, m, n, 或mn中的一个．

1).r = 1显然是不可能的,

2).若r =m,则

(ab)^m = e = a^mb^m =b^m ,

因为 m < n ,所以与b的周期为n矛盾．

3).若r = n,则

(ab)^n = e = a^nb^n = a^n

从而m | n,此与n为素数矛盾.

所以r=mn．

另一种证明,如下图