已知:如图,在平行四边形ABCD中,AC、BD交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD,E、F为垂足.求证:AC与EF互相平分.

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  • 解题思路:方法一:根据平行四边形的对角线互相平分,得到OA=OC,只需证明OE=OF.根据AAS证明△AOE≌△COF即可得到;

    方法二:要证明AC与EF互相平分,连接AF,CE.只需证明四边形AECF是平行四边形即可.根据AE⊥BD,CF⊥BD,得到AE∥CF.根据△ABE≌△CDF,得到AE=CF.再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行证明.

    证明:方法一:∵四边形ABCD是平行四边形,

    ∴OA=OC.

    ∵∠AOE=∠COF,∠AEO=∠CFO=90°

    ∴△AEO≌△CFO

    ∴OE=OF,即AC与EF互相平分.

    方法二:连接AF,CE.

    ∵AB∥CD,AB=CD,

    ∴∠ABE=∠CDF.

    又∠AEB=∠CFD=90°,

    ∴△ABE≌△CDF.

    ∴AE=CF.

    又AE∥CF,

    ∴四边形AECF是平行四边形.

    ∴AC与EF互相平分.

    点评:

    本题考点: 平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定.

    考点点评: 本题综合运用平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定,运用平行四边形的性质解决以下问题,如求角的度数、线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等.