解题思路：将矩形折叠后得到三棱锥，①四面体ABCD体积最大值为两个面互相垂直求三棱锥的底面积和高计算；
②求出三棱锥的外接球半径，计算表面积；
③连接AF，CF则AF=CF，连接DE，BE，得到DE=BE，利用等腰三角形的三线合一可得；
④当二面角A-BD-C为直二面角时，以C为原点CB，CD所在直线分别为x，y轴建立坐标系，借助于向量的数量积解答；
⑤找到二面角的平面角计算即可．
①四面体ABCD体积最大值为两个面互相垂直，它的体积为[1/3×
1
2×3×4×
12
5＝
24
5]；所以①正确；
②三棱锥A-BCD外接球的半径为[5/2]，所以三棱锥A-BCD外接球的表面积为4π×(
5
2)2=25π；②正确；
③若E、F分别为棱AC、BD的中点，连接AF，CF则AF=CF，根据等腰三角形三线合一得到EF⊥AC；
连接DE，BE，容易判断△ACD≌△ACB，得到DE=BE，所以EF⊥BD；所以③正确；
④当二面角A-BD-C为直二面角时，以C为原点CB，CD所在直线分别为x，y轴，则由向量的数量积可以得到直线AB、CD所成角的余弦值为[16/25]；所以④正确．
⑤当二面角A-BD-C的大小为60°时，棱AC的长为[14/5]
在直角三角形ABD中，AB=4，AD=3，BD=5，
作AE⊥BD，CF⊥BD，则AE=CF=[12/5]，DE=BF=[9/5]，
同理直角三角形ABC中，则EF=BD-DE-BF=[7/5]，
在平面ABD内，过F作FH∥AE，且FH=AE，连接AH，易得四边形AEFH为矩形，
则AH=EF=[7/5]，AH∥EF，
FH⊥DB，又CF⊥DB，即有∠CFH为二面角C-BD-A的平面角，且为60°，
即CH=CF=[12/5]，
由BD⊥平面CFH，得到BD⊥CH，
即有AH⊥CH，
则AC=
AH2+CH2
193
5故⑤错误；
故答案为：①②③④
点评：
本题考点： 棱锥的结构特征．
考点点评： 本题考查了平面与立体几何的关系，考查了三棱锥中线线关系，二面角以及三棱锥的外接球的表面积，较综合，属于中档题，