Question

（本小题共12分） 在三棱柱 ABC—A 1 B 1 C 1 中，底面是边长为 的正三角形，点 A 1 在底面 ABC

Answer 1

arctan2,

证明：（1）连AO, ∵⊿ABC为正三角形, ∴AO⊥BC.

又∵A ₁O⊥面ABC，∴A ₁O⊥BC，∴BC⊥面A ₁AO

∴面A ₁AO⊥面BCC ₁B ₁………4分

（2）过O作OE⊥AC于E，连A ₁E，

∵A ₁O⊥面ABC，

∴

，∴∠A ₁EO即为所求的平面角.

∵正⊿ ABC 的边长为

,∠A ₁AO=45°,

∴

．

∴二面角A ₁—AC—B的大小为arctan2 ． …………8分

（3）过D作DF//A ₁O交AO于F，则DF⊥面ABC，

连BF，要使BD⊥A ₁C ₁，只要使BF⊥AC，

∵⊿ABC为正三角形,

∴只要F为△ABC的中心即可，

∴

时，BD⊥A ₁C ₁． …………12分