Question

已知等差数列{an}，a1+a3+a5=42，a4+a6+a8=69；等比数列{bn}，b1=2，log2（b1b2b3

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由等差数列的性质及已知可分别求得a₃=14，a₆=23，进而可求d，由通项公式可得a_n；设等比数列{b_n}的公比为q，由log₂（b₁b₂b₃）=6，得b₁b₂b₃=2⁶，由等比数列的性质可得b₂=4，则q=

b

2

b

1

＝

4

2

=2，由通项公式可得b_n；

（Ⅱ）易求c_n=a_n-b_n=（3n+5）-2ⁿ，由c_n+1-c_n=[3（n+1）+5]-2ⁿ⁺¹-（3n+5）+2ⁿ=3-2ⁿ的符号可判断{c_n}的前4项为正，从第5项开始往后各项为负，设数列{c_n}的前n项和为S_n，利用等差、等比数列的求和公式可求S_n=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）+…+（a_n-b_n）=（a₁+a₂+…+a_n）-（b₁+b₂+…+b_n），然后分n≤4，n≥5两种情况讨论可求T_n．

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，

∵a₁+a₃+a₅=3a₃=42，∴a₃=14，

a₄+a₆+a₈=3a₆=69，∴a₆=23，

∴d=[23-14/3]=3．

a_n=a₃+（n-3）d=14+（n-3）•3=3n+5．

设等比数列{b_n}的公比为q，

由log₂（b₁b₂b₃）=6，得b₁b₂b₃=2⁶，即b23=26，∴b₂=4，

则q=

b2

b1=

4

2=2，

∴bn=2•2n-1=2n．

（Ⅱ）c_n=a_n-b_n=（3n+5）-2ⁿ，

c_n+1-c_n=[3（n+1）+5]-2ⁿ⁺¹-（3n+5）+2ⁿ=3-2ⁿ，

当n=1时，c₂-c₁=1>0，c₂>c₁，

当n≥2时，3-2ⁿ<0，c_n+1n，
又c₁=6，c₂=7，c₃=6，c₄=1，c₅=-12，…
∴{c_n}的前4项为正，从第5项开始往后各项为负，
设数列{c_n}的前n项和为S_n，S_n=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）+…+（a_n-b_n）
=（a₁+a₂+…+a_n）-（b₁+b₂+…+b_n）
=
n(3n+13)
2-
2(1-2n)
1-2=
3n2+13n
2-（2ⁿ⁺¹-2），
∴当n≤4时，T_n=|c₁|+|c₂|+…+|c_n|
=c₁+c₂+…+c_n=S_n=
3n2+13n
2-2n+1+2；
当n≥5时，T_n=c₁+c₂+c₃+c₄-（c₅+c₆+…+c_n）
=S₄-（S_n-S₄）=2S₄-S_n
=40-（
3n2+13n
2-2n+1+2）=38-
3n2+13n
2+2n+1．
∴Tn=


3n2+13n
2-2n+1+2，n≤4
38-
3n2+13n
2+2n+1，n≥5．

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查等差、等比数列的通项公式、求和公式，考查分类讨论思想，考查学生的运算求解能力，属中档题．