Question

设函数f（x）=x|x-a|+b，求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．

Answer 1

解题思路：根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性成立即可．

证明：充分性：∵a²+b²=0，

∴a=b=0，

∴f（x）=x|x|，

∵f（-x）=-x|-x|=-x|x|，-f（x）=-x|x|，

∴f（-x）=-f（x），

∴f（x）为奇函数．

必要性：若f（x）为奇函数，

则对一切x∈R，f（-x）=-f（x）恒成立，

即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b恒成立，

令x=0，则b=-b，

∴b=0，

此时-x|x+a|=-x|x-a|，

即|x+a|=|x-a|，

令x=a，则|2a|=0，

∴a=0，

即a²+b²=0成立．

综上：f（x）为奇函数的充要条件是a²+b²=0．

点评：

本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评： 本题主要考查充要条件的证明，要根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性成立．比较基础．