Question

已知函数f（x）=e x -ln（x+1）

Answer 1

（1）∵函数f（x）=e ^x-ln（x+1），

∴f′（x）=e ^x-

1

x+1 ，

∴k=f′（0）=e ⁰-

1

0+1 =0，

f（0）=e ⁰-ln1=1，

∴曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程为：y-1=0．

（2）∵f′（x）=e ^x-

1

x+1 ，x＞-1．

∴由f′（x）=e ^x-

1

x+1 =0，得x=0．

当x＞0时，e＞1，

1

x+1 ＜1，所以当x＞0时，f′（x）＞0；

当-1＜x＜0时，ex＜1，

1

x+1 ＞1，所以当x＜0时，f′（x）＜0．

∴函数f（x）的减区间是（-1，0），增区间是（0，+∞）．

（3）∵函数f（x）的减区间是（-1，0），增区间是（0，+∞），

∴当x=0时，f（x）取得最小值f（0）=1，∴f（x）≥1，

∴e ^x-ln（x+1）≥1，即e ^x≥ln（x+1）+1，

取x=

1

n ，则 e

1

n ≥ln（

1

n +1）+1=ln（n+1）-lnn+1，

于是e≥ln2-ln1+1，

e

1

2 ≥ln3-ln2+1，

e

1

3 ≥ln4-ln3+1，

…

e

1

n ≥ln（n+1）-lnn+1．

相加得，e+ e

1

2 + e

1

3 +…+ e

1

n ≥ln（n+1）+n．（n∈N*，e为常数）．

故 e+ e

1

2 + e

1

3 +…+ e

1

n ≥ln(n+1)+n(n∈ N * ，e为常数) ．