解题思路：（1）根据根的判别式△≥0，根据一元二次方程成立的条件，知a≠0，求解即可；
（2）根据坐标平移的性质得到新点坐标，结合已知条件列方程组解答；
（3）根据中心对称的定义，设出两个中心对称点，代入解析式列出方程组，再结合根的判别式解答．
（1）依题意，得△=[2（a-3）]2-4a（a+3）=-36a+36≥0，
解得a≤1，
又a≠0且a为非负整数，
∴a=1，
∴y=x2-4x+4．
（2）解法一：
抛物线y=x2-4x+4过点（1，1），（2，0），
向下平移m（m＞0）个单位后得到点（1，n）和点（2，2n+1）
∴
0−(2n+1)＝m
1−n＝m，解得m=3．
解法二：
抛物线y=x2-4x+4向下平移m（m＞0）个单位后得：y=x2-4x+4-m，
将点（1，n）和点（2，2n+1）代入解析式得
1−m＝n
−m＝2n+1，
解得m=3．
（3）设P（x0，y0），则Q（-x0，-y0），
∵P、Q在抛物线y=x2-4x+4+k上，将P、Q两点坐标分别代入得：
x02−4x0+4+k＝y0
x02+4x0+4+k＝−y0，
将两方程相加得：2x02+8+2k=0，
即x02+4+k=0，
∵△=-4（4+k）＞0，
∴k＜-4．
点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．
考点点评： 此题考查了抛物线与x轴的交点坐标和根的判别式，综合性很强，同时要利用方程组进行解答．解答时要体会方程组的解即为交点坐标．