如图,在正方形ABCD中,△PBC、△QCD是两个等边三角形,PB与DQ交于M,BP与CQ交于E,CP与DQ交于F.求证

1个回答

  • 解题思路:要证明PM=QM,可以证明△PMF≌△QME,观察图形,容易发现∠P=∠Q=60°,∠PMF=∠QME,关键是找出一组边相等,再联系已知条件,发现由ASA可以证明△EBC≌△FDC,得出CE=CF,从而PF=QE.

    证明:在正方形ABCD中,△PBC、△QCD都是等边三角形,

    ∴∠QCB=∠PCD=30°.(2分)

    又∵BC=CD,

    ∴在△EBC与△FDC中,

    ∠ECB=∠FCD

    BC=CD

    ∠EBC=∠FDC,

    ∴△EBC≌△FDC(ASA),(4分)

    ∴CE=CF.

    又∵CQ=CD=BC=CP,

    ∴PF=QE,(5分)

    又∵∠P=∠Q,

    ∠QME=∠PMF,

    ∴△MEQ≌△MFP,

    ∴PM=QM.(7分)

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;正方形的性质.

    考点点评: 证题较复杂时,一般采取“两头凑”的方法,即由求证出发,看需要哪些条件,再由已知出发,能够得出哪些结论,然后选择比较,得出结果.