解题思路:(Ⅰ)求导函数,令f′(x)=0,得
x
1
=
1−a
a
,
x
2
=1
,再进行分类讨论:当
a=
1
2
时,f'(x)≤0;当
0<a<
1
2
时,[1−a/a>1,在(0,1)和
(
1−a
a
,+∞)
上,有f'(x)<0,在
(1,
1−a
a
)
上,f'(x)>0,由此即可得到结论;
(Ⅱ)当
a=
1
4]时,
1−a
a
=3
,
f(x)=lnx−
1
4
x+
3
4x
−1
,确定函数f(x)在(0,2)的最小值,再将对任意x1∈(0,2),当x2∈[1,2]时,f(x1)≥g(x2)恒成立,转化为只需当x∈[1,2]时,gmax(x)≤f(x)min即可,由此可求实数b的取值范围.
(Ⅰ)求导函数可得:f′(x)=
1
x−a−
1−a
x2=
−ax2+x−(1−a)
x 2=−
[ax−(1−a)](x−1)
x2(x>0)
令f′(x)=0,得x1=
1−a
a, x2=1…(3分)
当a=
1
2时,f'(x)≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减…(4分)
当0<a<
1
2时,[1−a/a>1,在(0,1)和(
1−a
a,+∞)上,有f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
在(1,
1−a
a)上,f'(x)>0,函数f(x)单调递增…(6分)
(Ⅱ)当a=
1
4]时,[1−a/a=3,f(x)=lnx−
1
4x+
3
4x−1
由(Ⅰ)知,函数f(x)在(0,1)上是单调递减,在(1,2)上单调递增,
所以函数f(x)在(0,2)的最小值为f(1)=−
1
2]…(8分)
若对任意x1∈(0,2),当x2∈[1,2]时,f(x1)≥g(x2)恒成立,
只需当x∈[1,2]时,g(x)max≤-[1/2]即可,
又g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈[1,2]
当b<1.5时,g(x)max=g(2)=8-4b≤-[1/2],b≥[17/8],不合题意,舍去,
当b>1.5时,g(x)max=g(1)=5-2b,b≥[11/4].
综上,实数b的取值范围是[[11/4],+∞).
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查恒成立问题,解题的关键是将对任意x1∈(0,2),当x2∈[1,2]时,f(x1)≥g(x2)恒成立,转化为只需当x∈[1,2]时,gmax(x)≤f(x)min.
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