已知函数f(x)=lnx−ax+1−ax−1.

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  • 解题思路:(Ⅰ)求导函数,令f′(x)=0,得

    x

    1

    1−a

    a

    x

    2

    =1

    ,再进行分类讨论:当

    a=

    1

    2

    时,f'(x)≤0;当

    0<a<

    1

    2

    时,[1−a/a>1,在(0,1)和

    (

    1−a

    a

    ,+∞)

    上,有f'(x)<0,在

    (1,

    1−a

    a

    )

    上,f'(x)>0,由此即可得到结论;

    (Ⅱ)当

    a=

    1

    4]时,

    1−a

    a

    =3

    f(x)=lnx−

    1

    4

    x+

    3

    4x

    −1

    ,确定函数f(x)在(0,2)的最小值,再将对任意x1∈(0,2),当x2∈[1,2]时,f(x1)≥g(x2)恒成立,转化为只需当x∈[1,2]时,gmax(x)≤f(x)min即可,由此可求实数b的取值范围.

    (Ⅰ)求导函数可得:f′(x)=

    1

    x−a−

    1−a

    x2=

    −ax2+x−(1−a)

    x 2=−

    [ax−(1−a)](x−1)

    x2(x>0)

    令f′(x)=0,得x1=

    1−a

    a, x2=1…(3分)

    当a=

    1

    2时,f'(x)≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减…(4分)

    当0<a<

    1

    2时,[1−a/a>1,在(0,1)和(

    1−a

    a,+∞)上,有f'(x)<0,函数f(x)单调递减,

    在(1,

    1−a

    a)上,f'(x)>0,函数f(x)单调递增…(6分)

    (Ⅱ)当a=

    1

    4]时,[1−a/a=3,f(x)=lnx−

    1

    4x+

    3

    4x−1

    由(Ⅰ)知,函数f(x)在(0,1)上是单调递减,在(1,2)上单调递增,

    所以函数f(x)在(0,2)的最小值为f(1)=−

    1

    2]…(8分)

    若对任意x1∈(0,2),当x2∈[1,2]时,f(x1)≥g(x2)恒成立,

    只需当x∈[1,2]时,g(x)max≤-[1/2]即可,

    又g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈[1,2]

    当b<1.5时,g(x)max=g(2)=8-4b≤-[1/2],b≥[17/8],不合题意,舍去,

    当b>1.5时,g(x)max=g(1)=5-2b,b≥[11/4].

    综上,实数b的取值范围是[[11/4],+∞).

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查恒成立问题,解题的关键是将对任意x1∈(0,2),当x2∈[1,2]时,f(x1)≥g(x2)恒成立,转化为只需当x∈[1,2]时,gmax(x)≤f(x)min.

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