解题思路:(I)f′(x)=3x2+2ax-a=3(
x+
a
3
)2-
a
2
3
−a
,当
x=−
a
3
时,f′(x)取最小值
−
a
2
3
−a
=
−
4
3
,由此能求出a.
(II)f(x)=x3+x2-x-1=(x+1)2(x-1),f′(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),列表讨论能求出f(x)在[-1,m]上的最大值g(m).
(I)∵f(x)=x3+ax2-ax-1(a>0),
∴f′(x)=3x2+2ax-a=3(x+
a
3)2-
a2
3−a,
∵f′(x)的最小值为-[4/3],
∴当x=−
a
3时,f′(x)取最小值−
a2
3−a=−
4
3,
解得a=1或a=-4(舍)
故a的值为1.…(4分)
(II)f(x)=x3+x2-x-1=(x+1)2(x-1),
f′(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),…(6分)
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化如下表:
x (-∞,-1) 1 (-1,[1/3]) [1/3] ([1/3],+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) ↑ 极大值0
↓ 极小值
−
32
27
↑当-1<m<1时,g(m)=f(-1)=0;
当m≥1时,g(m)=f(m)=m3+m2-m-1,
∴g(m)=
0,−1<m<1
m3+m2−m−1,m≥1.…(12分)
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;二次函数的性质.
考点点评: 本题考查利用导数求函数最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.