(文)已知函数f(x)=x3+ax2-ax-1(a>0),设f′(x)的最小值为-[4/3]

3个回答

  • 解题思路:(I)f′(x)=3x2+2ax-a=3(

    x+

    a

    3

    2-

    a

    2

    3

    −a

    ,当

    x=−

    a

    3

    时,f′(x)取最小值

    a

    2

    3

    −a

    =

    4

    3

    ,由此能求出a.

    (II)f(x)=x3+x2-x-1=(x+1)2(x-1),f′(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),列表讨论能求出f(x)在[-1,m]上的最大值g(m).

    (I)∵f(x)=x3+ax2-ax-1(a>0),

    ∴f′(x)=3x2+2ax-a=3(x+

    a

    3)2-

    a2

    3−a,

    ∵f′(x)的最小值为-[4/3],

    ∴当x=−

    a

    3时,f′(x)取最小值−

    a2

    3−a=−

    4

    3,

    解得a=1或a=-4(舍)

    故a的值为1.…(4分)

    (II)f(x)=x3+x2-x-1=(x+1)2(x-1),

    f′(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),…(6分)

    当x变化时,f′(x)、f(x)的变化如下表:

    x (-∞,-1) 1 (-1,[1/3]) [1/3] ([1/3],+∞)

    f′(x) + 0 - 0 +

    f(x) ↑ 极大值0

    ↓ 极小值

    32

    27

    ↑当-1<m<1时,g(m)=f(-1)=0;

    当m≥1时,g(m)=f(m)=m3+m2-m-1,

    ∴g(m)=

    0,−1<m<1

    m3+m2−m−1,m≥1.…(12分)

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;二次函数的性质.

    考点点评: 本题考查利用导数求函数最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.