Question

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）．证

Answer 1

解题思路：设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|．把点P坐标代入，同时把A、B代入椭圆方程，最后联立方程即可得到x0关于x1和x2的关系式，最后根据x1和x2的范围确定x0的范围．

证明：设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x₁≠x₂．又交点为P（x₀，0），故|PA|=|PB|，即

（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²①

∵A、B在椭圆上，

∴

y21=b2-

b2

a2

x21，

y22=b2-

b2

a2

x22．

将上式代入①，得

2（x₂-x₁）x₀=(

x22-

x21)

a2-b2

a2②

∵x₁≠x₂，可得x0=

x1+x2

2•

a2-b2

a2．③

∵-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，且x₁≠x₂，

∴-2a＜x₁+x₂＜2a，

∴-

a2-b2

a＜x0＜

a2-b2

a．

点评：

本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．