Question

函数列f,g 在(a,b)上一致收敛,fg在(a,b)非一致收敛的反例

Answer 1

要点是需要一个无界的函数

比如Riemann函数的伪倒数：

x是无理数时f(x)=0

x是有理数p/q时f(p/q)=q,其中p,q互质,q>0

g(x)可以随意一点,比如g(x)=x^2

序列取成f_n(x)=f(x)+1/n,g_n(x)=g(x)+1/n,

那么f_n(x)g_n(x)=f(x)g(x)+(f(x)+g(x))/n+1/n^2

由于f(x)+g(x)在任何非退化区间上都无界,由定义即可否定一致收敛性