如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1=AC=BC,∠ACB=90°,P是AA1的中点,Q是AB的中点.

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  • 解题思路:(1)以C为坐标原点,以CA,CB,CC1为X,Y,Z轴正方向建立空间直角坐标系,分别求出异面直线PQ与B1C的方向向量,代入向量夹角公式,即可求出异面直线PQ与B1C所成角的大小;

    (2)连接CQ.由AC=BC,由已知中,Q是AB的中点,AA1⊥面ABC,我们根据等腰三角形“三线合一”的性质及线面垂直的性质,即可得到CQ⊥AB,CQ⊥AA1,进而根据线面垂直的判定定理,得到CQ⊥面ABB1A1,故CQ即为四棱锥C-BAPB1的高,求出棱锥的底面面积,代入棱锥体积公式,即可得到答案.

    (1)以C为坐标原点,以CA,CB,CC1为X,Y,Z轴正方向建立空间直角坐标系.不妨设CC1=AC=BC=2.

    依题意,可得点的坐标P(2,0,1),Q(1,1,0),B1(0,2,2).

    于是,

    PQ=(-1,1,-1),

    B1C=(0,-2,-2).

    PQ•

    B1C=0,

    则异面直线PQ与B1C所成角的大小为[π/2].

    (2)连接CQ.由AC=BC,Q是AB的中点,得CQ⊥AB;

    由AA1⊥面ABC,CQ⊊面ABC,得CQ⊥AA1

    又AA1∩AB=A,因此CQ⊥面ABB1A1

    由直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为[1/2]⇒CC1=AC=BC=1.可得CQ=

    2

    2.

    所以,四棱锥C-BAPB1的体积为VC-BAPB1=

    1

    3•CQ•SBAPB1=

    1

    3•

    2

    2•[

    1

    2(

    1

    2+1)•

    2]=

    1

    4.

    点评:

    本题考点: 异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积.

    考点点评: 本题考查的知识点是异面直线及其所成的角,棱锥的体积,其中(1)的关键是建立空间坐标系,将异面直线夹角问题转化为向量夹角问题,而(2)的关键是根据线面垂直的判定定理,得到CQ为棱锥的高.