Question

已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝3x9x+1−12，

Answer 1

解题思路：（1）利用导数法判断函数的单调性；

（2）首先把函数解析式变形，

再借用对数函数值域和基本不等式求出x≤0时f（x）的值域，

最后利用奇函数图象关于原点对称的性质求出x≥0时的值域，进而问题解决．

（1）答：函数y=f（x）在（-∝，0）上是增函数．

证明：f′（x）=(

3x

9x+1)′−(

1

2)′=

3xln3(9x+1)−3x•9x•2ln3

(9x+1)2=

3xln3(1−9x)

(9x+1)2

其中3^x＞0，ln3＞0，且x＜0时，0＜9^x＜1，

所以f′（x）＞0，

所以函数y=f（x）在（-∝，0）上是增函数．

（2）当x≤0时，f(x)＝

3x

9x+1−

1

2＝

3x

32x+1−

1

2=[1

3x+

1

3x−

1/2]

因为3x+

1

3x≥2，则3x+

1

3x∈[2，+∞），

所以f（x）在（-∞，0]上的值域是（-[1/2]，0]，

又f（x）是R上的奇函数，

所以f（x）在[0，+∞）上的值域是[0，[1/2]），

故y=f（x）在R上的值域是(−

1

2，

1

2)．

点评：

本题考点： 奇函数．

考点点评： 本题主要考查导数法判断函数的单调性和奇函数的图象特征，同时考查对数函数的值域及基本不等式．