Question

设方阵A满足A2-A-2E=0，证明：A和A+2E均可逆，并求A和A+2E的逆矩阵．

Answer 1

解题思路：由已知可得A×[A−E/2]=E，即所以A可逆，逆矩阵为[A−E/2]，由已知可得A²=A+2E，结合A可逆知A²可逆，可得A+2E可逆，进而得到答案．

证明：∵方阵A满足A²-A-2E=0，

∴A²-A=2E，

∴A×[A−E/2]=E

所以A可逆，逆矩阵为[A−E/2]，

∵方阵A满足A²-A-2E=0，

∴A²=A+2E，

由A可逆知A²可逆，

所以A+2E可逆，

逆矩阵为[[A−E/2]]²=

(A−E)2

4

点评：

本题考点： 逆变换与逆矩阵．

考点点评： 本题考查逆变换与逆矩阵，本题是一个基础题，解题的关键是记住求你矩阵的方法，