Question

x1+x2属于有理数,x1*x2属于有理数,证明x1^n+x2^n属于有理数

Answer 1

用数学归纳法证明

n=1时结论成立

n=2时

x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2*x1*x2,根据有理数定理,有理数相乘,相减后仍是有理数,得知x1^2+x2^2是有理数

假设n=k和k-1时,x1^n+x2^n属于有理数

则

x1^(k+1)＋x2^(k+1)＝(x1^k+x2^k)(x1+x2)-x1*x2*[x1^(k-1)+x2^(k-1)],等式右面是有理数之间的四则运算,结果仍为有理数,得知n=k+1时,结论成立

因此x1^n+x2^n属于有理数