Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常数，a∈R．

Answer 1

（1）当a=1时f（x）=x-lnx，f′（x）=1-

1

x =

x-1

x ．

所以当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．

所以f（x）的极小值为f（1）=1．

（2）若对任意x ₁∈（0，e]，存在x ₂∈[1，2]，使f（x ₁）≥g（x ₂），等价于f（x ₁） _min≥g（x ₂） _min．

由（1）知当x ₁∈（0，e]时，f（x ₁）有极小值为1，即当x ₁∈（0，e]时，f（x ₁） _min=1，

因为g（x）=x ²-x+3b ²-2b的对称轴为x=

1

2 ，

所以g（x）=x ²-x+3b ²-2b在x ₂∈[1，2]上单调递增，其最小值为g（1）=3b ²-2b，

所以有3b ²-2b≤1，解得-

1

3 ≤b≤1．

故b的取值范围为[ -

1

3 ，1 ]．

（3）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，f′（x）=a-

1

x =

ax-1

x ．

①当a≤0时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x） _min=f（e）=ae-1=3，a=

4

e （舍去），所以，此时f（x）无最小值．

②当0＜

1

a ＜e时，f（x）在（0，

1

a ）上单调递减，在（

1

a ，e]上单调递增， f(x ) min =f(

1

a ) =1+lna=3，a=e ²，满足条件．

③当

1

a ≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x） _min=f（e）=ae-1=3，a=

4

e （舍去），

所以，此时f（x）无最小值．

综上，存在实数a=e ²，使得当x∈（0，e]时f（x）有最小值3．