Question

如图,在矩形ABCD中,AC BD相交于O,EC是CB延长线上一点,CF垂直AE于F

Answer 1

证明：

因为四边形ABCD是矩形

所以A、B、C、D四点共圆,∠ADC＝∠BAD＝90度

因为CF⊥AF

所以∠AFC＝∠ADC＝90度

所以A、C、D、F四点共圆

所以∠BFD＝∠BAD＝90度

所以DF⊥BF

如果没有学习“四点共圆”知识,可以如下证明：

证明：

连接OF

因为CF⊥AE

所以△ACF是直角三角形

因为四边形ABCD是矩形

所以OA＝OB＝OC＝OD

所以OF是△ACF斜边上的中线

所以OF＝AC/2＝BD/2＝OB＝OD

所以∠ODF＝∠OFD,∠OBF＝∠OFB

因为∠ODF＋∠OFD＋∠OBF＋∠OFB＝180°

所以2（∠OFD＋∠OFB）＝180°

所以∠OFD＋∠OFB＝90°

即∠BFD＝90°

所以DF⊥BF