(2009•南通二模)如图所示,A、B两小球用轻杆连接,A球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动,B球处于光滑水平面内.开始时杆

1个回答

  • 解题思路:(1)在运动的过程中,系统机械能守恒,A球着地时,B球的速度为零,根据系统机械能守恒定律求出A球着地时的速度大小.

    (2)当A球机械能最小时,B球的速度最大,此时B球的加速度为0,则杆对球的作用力为0.根据平衡求出水平面对B球的支持力大小.

    (3)根据系统机械能守恒结合A、B速度的关系求出B的速度与杆与竖直方向夹角的关系,结合数学求导的方法求出B的速度最大时,即A的机械能最小时,杆与竖直方向夹角的余弦值,以及求出A球机械能的最小值.

    (1)A球着地时,B球的速度为0.

    设此时A球速度为v,由系统机械能守恒得mAgL=

    1

    2mAv2

    解得v=

    2gL

    (2)当A球机械能最小时,B球的速度最大,此时B球的加速度为0,则杆对球的作用力为0.

    设小球受到的支持力为N,对B球受力分析可得N=mBg

    (3)设杆与竖直方向间夹角为θ,B球的速度为vB,此时A球的速度为vA,则mAgL(1−cosθ)=

    1

    2mAvA2+

    1

    2mBvB2

    且vA和vB沿杆方向上分速度大小相等,即vAcosθ=vBsinθ

    联立解得vB=

    2gL(1−cosθ)cos2θ

    令y=(1-cosθ)cos2θ,当y的导数y´=0时,A球机械能最小,vB达最大值,即sinθcos2θ-2(1-cosθ)cosθsinθ=0

    解得cosθ=

    2

    3

    vA=

    30gL

    9

    则A球机械能的最小值EAmin=mAgLcosθ+

    1

    2mAvA2=

    23mAgL

    27

    答:(1)A球着地时的速度为v=

    2gL.

    (2)A球机械能最小时,水平面对B球的支持力为 N=mBg.

    (3)当A球机械能最小时,杆与竖直方向夹角的余弦值为[2/3],A球机械能的最小值为

    23mAgL

    27.

    点评:

    本题考点: 机械能守恒定律;力的合成与分解的运用;共点力平衡的条件及其应用.

    考点点评: 解决本题的关键知道A、B组成的系统在运动的过程中机械能守恒.知道当B的速度最大时,A的机械能最小.