解题思路:(1)在运动的过程中,系统机械能守恒,A球着地时,B球的速度为零,根据系统机械能守恒定律求出A球着地时的速度大小.
(2)当A球机械能最小时,B球的速度最大,此时B球的加速度为0,则杆对球的作用力为0.根据平衡求出水平面对B球的支持力大小.
(3)根据系统机械能守恒结合A、B速度的关系求出B的速度与杆与竖直方向夹角的关系,结合数学求导的方法求出B的速度最大时,即A的机械能最小时,杆与竖直方向夹角的余弦值,以及求出A球机械能的最小值.
(1)A球着地时,B球的速度为0.
设此时A球速度为v,由系统机械能守恒得mAgL=
1
2mAv2
解得v=
2gL
(2)当A球机械能最小时,B球的速度最大,此时B球的加速度为0,则杆对球的作用力为0.
设小球受到的支持力为N,对B球受力分析可得N=mBg
(3)设杆与竖直方向间夹角为θ,B球的速度为vB,此时A球的速度为vA,则mAgL(1−cosθ)=
1
2mAvA2+
1
2mBvB2
且vA和vB沿杆方向上分速度大小相等,即vAcosθ=vBsinθ
联立解得vB=
2gL(1−cosθ)cos2θ
令y=(1-cosθ)cos2θ,当y的导数y´=0时,A球机械能最小,vB达最大值,即sinθcos2θ-2(1-cosθ)cosθsinθ=0
解得cosθ=
2
3
vA=
30gL
9
则A球机械能的最小值EAmin=mAgLcosθ+
1
2mAvA2=
23mAgL
27
答:(1)A球着地时的速度为v=
2gL.
(2)A球机械能最小时,水平面对B球的支持力为 N=mBg.
(3)当A球机械能最小时,杆与竖直方向夹角的余弦值为[2/3],A球机械能的最小值为
23mAgL
27.
点评:
本题考点: 机械能守恒定律;力的合成与分解的运用;共点力平衡的条件及其应用.
考点点评: 解决本题的关键知道A、B组成的系统在运动的过程中机械能守恒.知道当B的速度最大时,A的机械能最小.