Question

已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前三项．

Answer 1

解题思路：（1）由已知条件推导出d=1，a₁=2，由此求出a_n=n+1，

S

n

＝2n+

n(n−1)

2

×1

=

n

2

+3n

2

．由a₁，a₃，a₇恰为等比数列{b_n}的前三项，能求出

b

n

＝

2

n

，

T

n

＝

2(1−

2

n

)

1−2

=2ⁿ⁺¹-2．

（2）由a_nb_n=（n+1）•2ⁿ，利用错位相减法求出

K

n

＝n•

2

n+1

，由不等式λS_nT_n≥K_n+n对一切n∈N^*恒成立，得λ≥

2

n+1

+1

(n+3)(

2

n

−1)

，设g（n）=

2

n+1

+1

(n+3)(

2

n

−1)

，由数列的单调求出λ的最小值是[5/4]．

（1）由题意可知等差数列{a_n}的公差d≠0，

S₄=4a₁+6d=14，

2a₁+3d=7，①

∵a₁，a₃，a₇恰为等比数列{b_n}的前三项．

∴a₃²=a₁a₇，∴（a₁+2d）²=a₁（a₁+6d），

整理，得a₁=2d，②

将②代入①中得：4d+3d=7，解得d=1，

∴a₁=2，

∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，

Sn＝2n+

n(n−1)

2×1=

n2+3n

2．

∵a₁，a₃，a₇恰为等比数列{b_n}的前三项，

∴b₁=a₁=1+1=2，

b₂=a₃=3+1=4，

∴q＝

4

2＝2 ，

∴bn＝2n，

Tn＝

2(1−2n)

1−2=2ⁿ⁺¹-2．

（2）∵a_nb_n=（n+1）•2ⁿ，

∴Kn＝2•2+3•22+4•23+…+(n+1)•2n，①

2K_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②

①-②，得-K_n=4+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹

=4+

4(1−2n−1)

1−2-（n+1）•2ⁿ⁺¹

=-n•2ⁿ⁺¹，

∴Kn＝n•2n+1，

∵不等式λS_nT_n≥K_n+n对一切n∈N^*恒成立，

∴λ•

n2+3n

2•(2n+1−2)≥n•2n+1+n，

∴λ≥

2n+1+1

(n+3)(2n−1)，

设g（n）=

2n+1+1

(n+3)(2n−1)，

∵

g(n+1)

g(n)=

(n+3)(2n−1)(2n+2+1)

(n+4)(2n+1−1)((2n+1+1)

=

(n+3)(22n+2−1−3•2n)

(n+4)(22n+2−1)

＜

(n+3)(22n+2−1)

(n+4)(2

点评：

本题考点： 数列的求和；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查数列的前n项和求法，考查实数的最小值的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．