Question

已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，sin（2C-[π/2]）=[1/2]，且a2+b2＜c2．

Answer 1

解题思路：（1）由余弦定理表示出cosC，根据已知不等式得到cosC的值小于0，C为钝角，求出2C-[π/2]的范围，再由sin（2C-[π/2]）的值，利用特殊角的三角函数值很即可求出C的度数；

（2）由cosC的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，求出[a+b/c]的范围，再根据三边之和大于第三边，即可求出[a+b/c]的具体范围．

（1）∵a²+b²＜c²，

∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2−c2

2ab＜0，

∴C为钝角，

∴[π/2]＜2C-[π/2]＜[3π/2]，

∵sin（2C-[π/2]）=[1/2]，

∴2C-[π/2]=[5π/6]，

则C=[2π/3]；

（2）由（1）得C=[2π/3]，

根据余弦定理得：c²=a²+b²-2abcos[2π/3]=a²+b²+ab=（a+b）²-ab≥（a+b）²-（[a+b/2]）²=[3/4]（a+b）²，

即（[a+b/c]）²≤[4/3]，[a+b/c]≤

2

3

3，

又a+b＞c，即[a+b/c]＞1，

则[a+b/c]的范围为（1，

2

3

3]．

点评：

本题考点： 余弦定理；正弦定理．

考点点评： 此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．