在初中书上好像认定0不是自然数 所以
N属于Z Z属于Q Q属于R
整数用Z
自然数用N
实数用R 包括无理数
正整数用N+ 或N*
负整数用N-
有理数用Q
0有多种定义,这里只举最为常见的几种.（楼上列举了许多是0的性质,但一般不作为定义）
一、自然数0的定义及其扩充.
1、根据皮亚诺（Peano）自然数公理体系,0就是自然数中首先出现的数.皮亚诺公理1就是：0属于自然数集.
2、自然数集的定义也可以以1为首先出现的自然数,那么公理1成为：1属于自然数集.这时0并不属于自然数集.相应地,0是作为自然数的扩充出现的.可以定义“扩大了的自然数集”,即定义0是任何两个相等自然数的差（当然先已经定义了减法）,也可以用后面代数学中0的一般定义,将0并入这个扩大了的自然数集中.
3、整数、有理数、实数、复数中的0,都来源于自然数集中的0.在数集的扩张理论中,较小的数集都是以较大数集的序对或序列的一个等价类的形式嵌入较大数集的.比如把任意两个相同自然数的序对的等价类定义为整数（涵义就是这两个自然数的差）,其中两个相同的自然数构成的序对的等价类就是0.
4、在皮亚诺公理中,只是抽象地定义了自然数.也可以用构造的方法构成集合论中的自然数.这样,自然数0被等同于空集,而1就是{空集},2就是{空集,{空集}},等等.
二、一般代数理论中的0.
在一般代数结构中,如果定义了加法运算（一般加法是可交换的）,那么则定义0就是满足集中任何元素与之相加都仍得该元素性质的元素（也就是x+0=x这一性质）.如任何一个域中都有0元素,实数域中的0也可以这样定义.
如果一个代数结构没有定义加法,只定义了乘法,有时也可以说满足集中任何元素与之相乘都仍得0性质的元素（也就是0*x=0或x*0=0）.由于这里乘法没有交换律,所以有“左0元”和“右0元”之分.如数域K上N阶方阵关于乘法构成一个群,就可以说它有左、右0元.
顺变提一下,布尔（Boolean）代数中0是另一种符号,遵循的又是逻辑运算的法则了.
附：皮亚诺自然数公理（也就是自然数的公理化定义）
PA1：零是个自然数.
PA2：每个自然数都有一个后继（也是个自然数）.
PA3：零不是任何自然数的后继.
PA4：不同的自然数有不同的后继.
PA5：（归纳公理）设由自然数组成的某个集含有零,且每当该集含有某个自然数时便也同时含有这个数的后继,那么该集定含有全部自然数.
参考资料：汪芳庭,数学基础.潘承洞,潘承彪,初等数论.蓝以中,高等代数简明教程,抽象代数复明教程.范德瓦尔登,代数学