Question

一元二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R），x∈R，若函数f（x）的最小值为f（-1）=0，求f（x）的解析式

Answer 1

解题思路：本题通过二次函数的顶点坐标，得到参数a，b的方程，从而求出a，b的值，得到函数的解析式，再利用图象特征，得到函数的单调区间．

∵二次函数f（x）=ax²+bx+1的最小值为f（-1）=0，

∴

a＞0

−

b

2a＝−1

4a−b2

4a＝0，

∴

a＝1

b＝2，

∴f（x）=x²+2x+1．

在区间（-∞，-1）单调递减，在区间[-1，+∞）单调递增．

∴f（x）的解析式为f（x）=x²+2x+1．单调减区间为（-∞，-1），单调增区间为[-1，+∞）．

点评：

本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查了二次函数的解析式和单调性，本题还可以用二次函数的顶点式去研究．本题难度不大，属于基础题．